STRUKTUR ALJABAR - TEOREMA LAGRANGE

TEOREMA LAGRANGE

Kita tahu bahwa suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga. Jika grup G berhingga tentu saja subgrupnya berhingga pula. Jadi...teorema Lagrange membahas hubungan grup berhingga dengan subgrupnya.

Teorema Langrange: Diberikan H subgrup dari grup berhingga G maka order dari H membagi habis order dari G (ditulis : n (S) | n (G) ).

Bukti : Jika G adalah suatu grup berhingga dengan order m, dan H merupakan subgrup dari G dengan order k. Maka order dari H membagi habis order dari G.

Akibatnya H koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda.

Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

(G) = mk       atau   n = mk

Jadi m | n

ini berarti (H) membagi (G).

Karena n = mk, maka n/k  = m, akibatnya indeks subgroup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut.

Contoh 1 :

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } dengan operasi perkalian modulo 7 membentuk suatu grup.

H = { 1, 2, 4 } dan D = { 1, 6 } terhadapa operasi perkalian modulo 7 merupakan subgrup dari S

Koset - koset kanan dari H dalam S adalah H₁, H₂, H₃, H₄, H₅, H₆ dengan H₁ = H₂ = H₄ = H dan

H₃ = { 1.3, 2.3, 4.3 } = { 3, 6, 5 }

H₅ = { 1.5, 2.5, 4.5 } = { 5, 3, 6 }

H₆ = { 1.6, 2.6, 4.6 } = { 6, 5, 3 } . maka H₃ = H₅ = H₆

Jadi banyaknya koset kanan H dalam G ada 2 atau i_G (H) = 2. Nampak bahwa n(H) = 3 dan n (T) = 6, sehingga i_T(H) =  18

Contoh 2 :

Diberikan grup ( Z_{6 ,} + ) = {0,1,,2,3,4,5} dan dua subgroup H₁={0,3} dan H₂={0,2,4}

Maka :

|G| / |H₁| = 3

|G| / |H₂| = 2

Pembuktian

Order dari setiap koset yang dibangun oleh H itu sama dengan order H, yaitu untuk sebarang koset (kiri) gH (dengan g∈G) maka berlaku m=|gH|=|H|. Demikian pula dengan koset (kanan) Hg

Perhatikan bahwa koset merupakan suatu partisi. Misalkan saja kita himpun seluruh koset pada G

yang dibangun dari H yaitu X={g1H,g2H,g3H,…}. Karena koset merupakan suatu partisi, maka setiap elemen di G

pasti termuat dalam tepat satu koset!

Misalkan n=|G|

 Kita ambil satu demi satu elemen pada G (sebut saja elemen-elemen ini sebagai g1,g2,g3,…,gn) dan membentuk koset dari H yaitu g1H,g2H,g3H,…,gnH

Jika untuk suatu elemen gx

ternyata terdapat elemen gy (dan gx≠gy) sehingga gxH=gyH, maka gx dan gy termuat di dalam suatu kelas partisi yang sama. Dengan demikian elemen-elemen pada G terbagi dengan "rata" ke sejumlah s koset yang dibangun dari H

Jadi, kita peroleh n=sm

SEKIAN …. J J